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カウンター (2006/4/4カウンター設置)
キリ番ゲットされた方は申し出てくださレ。何か良いことあるカモよ。



不可能な方程式 Impossible Equation


不可能物体を見て、物理的に無理とか、数学的に不可能などと結論付ける場面がある。
数学や科学は、本質的に現実を説明するためにあるのであって、現実が数学や科学で成り立つのではない。
科学の最も基本を成す数学ですら、ある意味欠陥だらけの屁理屈なのである。

数学パズルの本でよく登場する数式で、次のようなものがある。

$a=b$と仮定すると
\begin{eqnarray*} ab &=& a^2\\ ab-b^2 &=& a^2 - b^2\\ b(a-b) &=& (a-b)(a-b)\\ b &=& ab\\ b &=& 2b\\ \therefore 1&=&2 \end{eqnarray*}
何が間違っているかというと$0$で割り算したから、おかしくなるという説明を受ける。
では、なぜ、$0$で割るといけないかというとよく解らない。
結局、このような状況が起きるから、駄目なのだという結論になる。
$0$で割るといけないという本質的な説明はどこにもない。
極限として$a \to b$とすれば、割り算が成り立つのではという疑問も起きる。
極限値を求める場合には、$0$や${\infty}$で割り算することは良く有る。
つまりは、全体のつじつまが合わなくなるから駄目だということなのだ。
数学と言っても、つじつまあわせの禁則がいっぱいあるのだ。
つまりは、屁理屈の塊であり、真に美しくまとまっているものではない。
これらは、fallacyと呼ばれて、論文の検証などで引っかかる要所でもある。
また、数学的な遊びのひとつでもあり、詰め込み教育では教わらない数学の成り立ちを体験できる。
根号を使うといろんな遊びが出来る。 であるから、

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$であるから
\begin{align*} \sqrt{-1}\times \sqrt{-1}=\sqrt{-1 \times -1} =\sqrt{1} = 1\\ ところが、 \sqrt{-1}^2 = -1 なので\\ \therefore -1=1 \end{align*}
または、こんなものも、

ここで、 $\sqrt{-1}=i$とすると、
\begin{align*} \sqrt{x - y} =\sqrt{-1 ( y - x )} = i \sqrt{y -x}\\ ここで、x=a,y=b とすると\\ \sqrt{a - b} = i \sqrt{b -a}\\ さらに、x=b,y=a とすると\\ \sqrt{b - a} = i \sqrt{a -b}\\ 2つの式を乗ずると\\ \sqrt{a - b}\sqrt{b - a} = i^2 \sqrt{b - a}\sqrt{a - b}\\ 1 = i^2 = -1\\ \therefore 1 = -1 \end{align*}
芦ヶ原先生が、グラナダのパラドックスと名付けた数式は、以下の通りだ。
\begin{align*} i= \sqrt{-1} = (-1) ^\frac{1}{2} = (-1) ^ \frac{2}{4} = \sqrt[4]{(-1)^2} = \sqrt[4]{1} = \sqrt{1} = 1\\ \therefore i = 1 \end{align*}

これも、1のn乗根を勝手に等しいとした結果であるが、記号的な手法だけで手順を行うと間違いが起こりやすいことを示している。
数学は、手順が記号的に整理された結果、機械的的な操作だけで論理を考えることができるようにたまたま成り立っているだけで、
それに頼りすぎると本質を見失う。
次は、ジョン・ベルヌーイが考案したものといわれている。
\begin{align*} (-1)^2 = 1 \\
両辺の対数を取ると、左辺は、 \\ \log (-1)^2 = 2 \log(-1) \\
右辺は、\log 1 = 0 だから\\ \log(-1) = 0 \\ 逆関数をとると -1 = e ^ 0 = 1 \\ \therefore -1 = 1 \end{align*}
一体、なにが悪いのでしょうか。

数学上でもっとも不思議で美しいオイラーの公式(これは、真実です)
\begin{align*} e ^ {i \pi} = -1 \\ -1 = i ^ 2 なので \\ e ^ {i \frac{\pi}{2}} = i \\ 両辺をi乗すると、\\ i ^ i = e ^ {i \frac{\pi}{2} i} = e ^ {- \frac{\pi}{2}} \\ ゆえに、i ^ iは、実数である \end{align*} オイラーの公式そのものが、全く不思議に満ちているので、これを弄ればいくらでも変てこ方程式が導き出せる。
オイラーの公式の対数を取ると
\begin{align*} i \pi = log (-1) \\ さらに先の理屈で log(-1) = 0 なので、\\ \therefore i \pi = 0\\ \end{align*}
次は、logの無限級数を使ったもの
\begin{eqnarray*} log(1 + x ) &=& x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{6}x^6 \cdots\\ x = 1 とすると\\ log(2) &=& 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \cdots\\ 両辺を2倍すると\\ 2 log(2) &=& 2 - 1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{2}{5} - \frac{1}{3} + \frac{2}{7} - \frac{1}{4} + \frac{2}{9} - \frac{1}{5}+ \frac{2}{11} - \frac{1}{6} \cdots\\ &=& 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + \frac{1}{9} - \frac{1}{5}+ \frac{1}{11} - \frac{1}{6} \cdots\\ &=& 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{9} - \frac{1}{5}+ \frac{1}{11} - \frac{1}{6} \cdots\\ &=& log (2)\\ \therefore 2 log 2 = log 2\\ \therefore 2 = 1\\ \end{eqnarray*}
次は、有名な2つの公式

\begin{eqnarray*} 1 + x + x^2 + x^3 + x^4+ x^5 + x^6 \cdots &=& \frac{1}{1-x} \\ 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^4} + \frac{1}{x^5} + + \frac{1}{x^6} \cdots &=& \frac{x}{x - 1} \\ 最初の式をx倍して、2つの式の和を取ると\\ 1 + x + \frac{1}{x} + x^2 + + \frac{1}{x^2} + x^3 + \frac{1}{x^3} + x^4 + \frac{1}{x^4} + x^5 + \frac{1}{x^5} \cdots &=& \frac{1}{1-x} + \frac{x}{x - 1} \\ &=& \frac{x}{1-x} - \frac{x}{1 - x } \\ &=& 0 \\ 左辺は、明らかに >1 になるように思えるが、なぜか総和は 0 になる。
\end{eqnarray*}
良かった、不思議な方程式を、いろいろ作ってみてください。
参考文献:
Mathematical Recreations and Essays W. Rouse Ball, H. S. M. Coxeter
雑誌クォーク1989/8「グラナダのパラドックス」 芦ヶ原伸之
Mathematical Fallacies and Paradox Byan Bunch

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